4 Calcul des dimensions

4.1 Amplitude de variation des rayons

L'effet Doppler observé, dû au déplacement radial de l'atmosphère de l'étoile, n'est pas exactement la vitesse d'expansion $V_{\rm e}$, mais la moyenne des vitesses radiales intégrée sur tout l'hémisphère visible. La vitesse d'expansion est évidemment la seule à considérer pour le calcul du déplacement. L'intégration sur tout le disque conduit à une relation linéaire liant la vitesse d'expansion à la vitesse radiale observée $V_{\rm e}(t)=-\alpha V_{\rm r}(t)$, où $\alpha$ et le facteur de projection (Imbert 1981a). Pour Coravel, la valeur de $\alpha$ retenue est 1,36 (Burki et al. 1982; Burki & Benz 1982).

L'amplitude de variation du rayon de l'étoile sera donnée par

$$\Delta R = \left\vert ~\alpha~\int^{t_{1}}_{t_{2}}~V_{\rm r}(t)~{\rm d}t~\right\vert$$

où t₁ et t₂ sont les deux instants du cycle de pulsation où le rayon est extrémal, c'est-à-dire quand $V_{\rm r}(t) = V_{\rm o}$. La théorie du mouvement dans un système double spectroscopique, exposée, notamment par Binnendijk (1960), montre que

$$Z(t) = \int~V_{\rm r}(t)~{\rm d}t = r~{\rm sin}(\nu (t)~+~\omega )~{\rm sin}~i + Ct_{\rm e}$$

où

$$r = \frac{a(1-e^{2})}{1+e~{\rm cos}~\nu (t)}~~et~~a~{\rm sin}~i~=~\frac{P~K~(1-e^{2})^{1/2}}{2 \pi}$$

on peut ainsi calculer Z à chaque instant avec

$$Z(t) = \frac{P~K~(1-e^{2})^{3/2}~{\rm sin}(\nu (t)~+~\omega )}{2\pi(1+e~{\rm cos}~\nu (t))}~+~Ct_{\rm e}.$$

Si P est exprimé en jours, K en km s^-1, Z(t) s'exprime en rayons solaires par

$$Z(t) = 0,019757~\frac{P~K~(1-e^{2})^{3/2}~{\rm sin}(\nu (t)~+~\omega )}{(1+e~{\rm cos}~\nu (t))}~+~Ct_{\rm e}.$$

Pour m mouvements, on peut alors calculer $\Delta R$ dans le cas général avec

$$\Delta R = \alpha~ \left\vert ~\sum_m~[Z_m(t_{1m})~-~Z_m(t_{2m})]~\right\vert\cdot$$

Pour chacune des étoiles nous avons ainsi calculé les amplitudes de variation des rayons en utilisant les paramètres des ajustements képlériens. Les résultats de ces calculs sont donnés dans le tableau 3.

4.2 Calcul des rayons

Pour l'époque t le rayon de l'étoile est calculé avec

$$R(t) = - \alpha \sum_m Z_m(t) + R_{\rm c}$$

où $R_{\rm c}$ est un rayon qui sera pris pour référence dans les calculs. Dans le cas d'un seul mouvement, ce rayon est le rayon d'équilibre correspondant à une accélération nulle. Nous avons montré (Imbert 1987), qu'à toutes les phases de la pulsation on peut écrire une relation liant le rayon de l'étoile, la magnitude et un indice de couleur. Avec les couleurs V et B, on peut écrire :

$$V(t) = - 5 \log R(t) - a (B-V)(t) + Q$$

a est le coefficient de proportionnalité entre 10 log $T_{\rm e}$ + CB et B-V (Imbert 1987). En utilisant le déplacement

$$D(t) = - \alpha ~\sum_m ~ Z_m(t)$$

on aura

$$V(t) = - 5~\log~[D(t) + R_{\rm c}] - a (B-V)(t) + Q.$$ (1)

Pour chacune des époques des nbv observations de V et B-V on calcule D(t). On dispose ainsi de nbv équations dont les inconnues à trouver sont a, Q et $R_{\rm c}$. Dans un premier calcul, on détermine une solution par moindres carrés en linéarisant l'Éq. (1). En négligeant $D(t)/R_{\rm c}^{2}$ on est conduit à

$$V(t) = -2,1715~D(t)/R_{\rm c} - a (B-V)(t) + Q'.$$

À partir de cette solution approchée, on détermine les vraies valeurs en résolvant par approximations successives les équations de la forme

$$V_{{\rm obs}} (t) {-} V_{{\rm app}} (t) {=}- \frac{2,1715}{R_... ... c} {-} D(t)}~{\rm d}R_{\rm c}{-}(B-V)(t)~{\rm d}a {+} {\rm d}Q$$

où $V_{{\rm obs}} (t) - V_{{\rm app}}$ sont respectivement la vitesse observée et la vitesse calculée. Après la détermination de $R_{\rm c}$ il reste à formuler la différence entre le rayon moyen de l'étoile, $R_{\rm o}$, et $R_{\rm c}$. Le rayon moyen $R_{\rm o}$ est défini par

$$R_{\rm o} = \frac{1}{P_{0}}~\int^{P_{0}}_{0}~R(t)~{\rm d}t + R_{\rm c}.$$

Dans cette expression $P_{\rm o}$ correspond au mouvement de plus longue période. Nous avons montré (Imbert 1987), que pour un seul mouvement, avec les unités utilisée plus hauts,

$$R_{\rm o} = 0,029636~e~K~P~(1 - e^{2})^{1/2}~ \sin~\omega + R_{\rm c}.$$

L'intégration étant linéaire, ce résultat se généralise facilement au cas de plusieurs mouvements. On a ainsi :

$$R_{\rm o} = R_{\rm c} + 0,029636~\sum_m~ e_m~K_m~ P_m~ (1 - e_m^{2})^{1/2}~ \sin~\omega_m.$$

Figure 2: Vitesses radiales et ajustement par mouvements képlériens fictifs de TT Aql, RX Aur, SY Cas, CD Cyg, SZ Cyg, V402 Cyg, V1154 Cyg et AA Gem

Figure 3: Vitesses radiales et ajustement par mouvements képlériens fictifs de W Gem, BB Her, BL Her, BG Lac, RR Lac, Y Lac, SV Mon et UY Mon

Figure 4: Vitesses radiales et ajustement par mouvements képlériens fictifs de GQ Ori, RS Ori, AS Per, VX Per, ST Tau et SV Vul

Pour la détermination des rayons, nous avons utilisé la photométrie UBV car, pour les étoiles mesurées, cette photométrie réalise le meilleur compromis entre la qualité des mesures et la proximité des observations avec nos mesures de vitesses radiales, condition essentielle pour ne pas biaiser les calculs par une éventuelle dérive de la période. De plus, pour la plupart de nos étoiles, le nombre de mesures dans les couleurs R, I, J ou K est très insuffisant pour la détermination des rayons. Les résultats de ces calculs figurent dans le tableau 3. Sur cet échantillon homogène mais partiel, car pour l'instant la zone de période 17 à 45 jours n'est pas encore couverte, nous avons calculé une relation linéaire liant log P et log $R_{\rm o}$.

$${\rm Log}~R_{\rm o} = 0,611 \mbox{$\scriptsize ~\pm~0,023$ } ~{\rm log}~P + 1,296 \mbox{$\scriptsize ~\pm~0,022.$ }$$

BL Her, d'un type particulier, n'a pas été considérée dans ce calcul. La relation entre log P et log $R_{\rm o}$ est représentée sur la Fig. 1. Ce résultat est très proche, notamment, de celui obtenu, avec V et B-V par Laney & Stobie (1995), qui donnent

$${\rm Log}~R_{\rm o} = 0,625 \mbox{$\scriptsize ~\pm~0,031$ } ~{\rm log}~P + 1,198 \mbox{$\scriptsize ~\pm~0,010.$ }$$

Cependant il y a désaccord avec les déterminations déduites d'autres couleur, notamment J et K. Il semble que les couleurs J et K soient moins sensibles aux effets de variations de gravité ou de microturbulence au cours de la pulsation. Laney & Stobie (1995) donnent une formule de correction au premier ordre pour tenir compte de la variation de gravité. Si nous appliquons ces corrections à nos rayons nous déduisons la formulation suivante pour la relation période rayon :

$${\rm Log}~R_{\rm o} = 0,648 \mbox{$\scriptsize ~\pm~0,025$ } ~{\rm log}~P + 1,298 \mbox{$\scriptsize ~\pm~0,022.$ }$$

Les coefficients restent néanmoins assez différents de ceux de Laney et Stobie pour les couleurs J et K. Cette différence doit, sans doute, être attribuée aux autres effets non pris en compte, tels que microturbulence ou duplicité. On peut aussi se demander si avec les couleurs B et V, le coefficient de projection et l'assombrissement centre-bord ne varient pas de manière plus significative au cours de la pulsation, et biaisent ainsi la détermination du rayon moyen.