3 Représentation analytique de la pulsation

Nous avons montré précédemment (Imbert et al. 1985, 1989) que le mouvement radial de pulsation pouvait être décrit par une expression analytique de la forme :

$$V_{\rm r}(t) = V_{\rm o} + \sum_ m~K_m~(e_m~{\rm cos}~\omega_m~+~{\rm cos}~(\nu_m(t)~+~\omega_m))$$

$\nu_ m$ étant défini par :

$${\rm tg}~(\nu _m(t)/2) = [(1~+~e_m)/(1 - e_m)]^{1/2}~{\rm tg}~(E_m/2)$$

avec $E_m - e_m ~{\rm sin}~E_m = M_m$

et $M_m = 2\pi~(t - T_{o_m})/P_m$

t est l'époque d'observation et P_m la période du mouvement m.

La valeur de m est un pour les Céphéides sans "bump'', deux pour les Céphéides avec "bump'', et, exceptionnellement trois quand deux mouvements ne suffisent pas à représenter correctement les observations (BL Her). Cet ajustement permet de représenter objectivement les observations de vitesse radiale en évitant les oscillations parasites introduites par un ajustement par développement de Fourier. Il permet en outre de maîtriser le nombre d'extremums de la courbe et donne une très bonne représentation de la pulsation, même dans le cas de mesures peu nombreuses ou mal réparties en phase. Toutes les formes de courbes rencontrées dans ce travail sont parfaitement représentées par ce lissage (Figs. 2, 3 et 4). Cette représentation analytique de la vitesse radiale de l'étoile au cours de sa pulsation est formellement identique à celle décrivant la variation de vitesse radiale des composantes d'un système double spectroscopique. On peut ainsi assimiler la variation de vitesse radiale d'une Céphéide à une somme de mouvements képlériens fictifs (Imbert et al. 1985; Imbert 1987; Imbert et al. 1989). Dans le cas de Céphéides doubles spectroscopiques, ces mouvements fictifs s'ajoutent au mouvement képlérien réel dû à la duplicité (Imbert 1994; Imbert 1996).

Les paramètres de lissage à calculer, $V_{\rm o}$, e_m, $\omega_m$, K_m et $T_{{\rm o}_m}$, sont au nombre de 5, 9 ou exceptionnellement 13, auxquels s'ajoutent éventuellement une, deux ou trois valeurs de P_m. $V_{\rm o}$ est la vitesse du centre de masse de l'étoile et K_m l'amplitude de la composante m du mouvement. e_m et $\omega_m$ doivent être considérés comme des paramètres de forme. $T_{{\rm o}_m}$est l'époque de passage au périastre de l'orbite fictive, mais ne correspond pas, en général, à un instant remarquable dans la cycle de pulsation. Le calcul de ces éléments orbitaux fictifs ou réels se fait par la méthode classique par améliorations itératives des éléments approchés de départ. Tous les calculs relatifs aux recherches de périodes, détermination des éléments orbitaux approchés et amélioration de ceux-ci par la méthode de moindres carrés de Schlesinger (1908), ont été effectués avec le programme SB5MCEX écrit en VBA Excel et mis en uvre sur Power Macintosh. Ce programme, très interactif, permet de rechercher les périodes (Imbert 1972), de calculer des éléments approchés par une variante numérique de la méthode graphique de Lehman-Filhès (1894), et de déterminer les éléments orbitaux définitifs par itérations successives. Dans ce programme, il est possible de prendre en compte jusqu'à cinq mouvements képlériens superposés. Le programme donne en outre la possibilité de fixer n'importe quel élément à une valeur prédéterminée, comme la période ou l'excentricité e. Les éléments orbitaux fictifs calculés par la méthode ci-dessus sont donnés dans le tableau 2. Les différences, O-C, entre la valeur observée et la valeur calculée avec l'ajustement figurent dans le tableau 1.

   

Table 2: Paramètres d'ajustement de la variation de vitesse radiale. La période est exprimée en jours, $V_{\rm o}$, K et $\sigma$ en km s ^-1, $\omega$ en radians. nvr et m sont respectivement le nombre de vitesses utilisées dans le calcul et le nombre de mouvements nécessaires à la représentation de la pulsation. $\sigma$ est le résidu quadratique moyen de l'ajustement. Pour chaque étoile les lignes sont relatives respectivement au premier, second et troisième mouvement. L'astérisque indique que la période utilisée est celle de la photométrie.

	Période	nvr	m	$\sigma$	$V_{\rm o}$	e	$\omega$	K
BL Her	1,3074372  $\pm$  0,000007	113	3	0,82	9,85  $\pm$  0,11	0,471  $\pm$  0,027	1,36  $\pm$  0,12	16,6  $\pm$  1,4
						0,739  $\pm$  0,017	2,07  $\pm$  0,16	13,5  $\pm$  1,5
						0,457  $\pm$  0,053	1,77  $\pm$  0,24	4,2  $\pm$  0,4
UY Mon	2,398255  $\pm$  0,000007	30	1	0,47	34,09  $\pm$  0,10	0,301  $\pm$  0,014	1,84  $\pm$  0,05	9,7  $\pm$  0,1
ST Tau	4,034299 (*)	32	1	0,73	1,11  $\pm$  0,15	0,412  $\pm$  0,011	1,67  $\pm$  0,03	18,0  $\pm$  0,2
SY Cas	4,071098 (*)	43	1	0,79	-46,93  $\pm$  0,13	0,408  $\pm$  0,008	1,67  $\pm$  0,03	18,2  $\pm$  0,2
Y Lac	4,323776 (*)	43	1	1,12	-22,25  $\pm$  0,19	0,388  $\pm$  0,012	1,63  $\pm$  0,04	18,6  $\pm$  0,3
V402 Cyg	4,364836 (*)	32	1	0,68	-13,42  $\pm$  0,14	0,351  $\pm$  0,011	1,53  $\pm$  0,04	15,2  $\pm$  0,2
V1154 Cyg	4,92546 (*)	32	1	0,57	-4,32  $\pm$  0,11	0,295  $\pm$  0,012	1,55  $\pm$  0,05	12,7  $\pm$  0,2
AS Per	4,972516 (*)	20	1	0,55	-30,39  $\pm$  0,16	0,473  $\pm$  0,008	1,55  $\pm$  0,03	19,9  $\pm$  0,2
BG Lac	5,331932 (*)	31	2	0,34	-18,02  $\pm$  0,07	0,415  $\pm$  0,043	0,86  $\pm$  0,41	17,1  $\pm$  4,9
						0,133  $\pm$  0,146	2,37  $\pm$  0,49	5,6  $\pm$  4,7
RR Lac	6,41629  $\pm$  0,00002	29	2	0,39	-38,73  $\pm$  0,10	0,435  $\pm$  0,013	1,30  $\pm$  0,06	17,3  $\pm$  0,5
						0,351  $\pm$  0,216	0,71  $\pm$  0,98	1,3  $\pm$  0,5
BB Her	7,50585  $\pm$  0,00008	25	2	0,53	88,75  $\pm$  0,14	0,371  $\pm$  0,018	1,26  $\pm$  0,08	17,3  $\pm$  0,5
						0,513  $\pm$  0,101	2,21  $\pm$  0,46	2,9  $\pm$  0,6
RS Ori	7,566881 (*)	38	2	0,67	42,89  $\pm$  0,14	0,436  $\pm$  0,012	1,34  $\pm$  0,05	20,6  $\pm$  0,4
						0,524  $\pm$  0,068	2,36  $\pm$  0,24	3,8  $\pm$  0,4
W Gem	7,91343  $\pm$  0,00004	48	2	0,68	1,61  $\pm$  0,11	0,453  $\pm$  0,010	1,22  $\pm$  0,03	21,0  $\pm$  0,3
						0,591  $\pm$  0,062	2,30  $\pm$  0,18	4,0  $\pm$  0,3
GQ Ori	8,61645  $\pm$  0,00007	29	2	0,50	45,12  $\pm$  0,13	0,398  $\pm$  0,015	1,40  $\pm$  0,08	20,1  $\pm$  0,7
						0,362  $\pm$  0,065	2,64  $\pm$  0,32	5,5  $\pm$  0,6
VX Per	10,8866  $\pm$  0,0002	58	2	0,64	-35,97  $\pm$  0,10	0,380  $\pm$  0,013	1,40  $\pm$  0,07	16,6  $\pm$  0,5
						0,412  $\pm$  0,038	2,69  $\pm$  0,16	6,8  $\pm$  0,4
AA Gem	11,30334 (*)	38	2	0,60	18,76  $\pm$  0,12	0,330  $\pm$  0,029	1,50  $\pm$  0,18	14,2  $\pm$  1,2
						0,384  $\pm$  0,037	1,85  $\pm$  0,20	12,2  $\pm$  1,2
RX Aur	11,623537 (*)	25	2	0,38	-21,95  $\pm$  0,11	0,268  $\pm$  0,022	1,27  $\pm$  0,13	15,6  $\pm$  0,9
						0,405  $\pm$  0,051	1,87  $\pm$  0,28	6,7  $\pm$  0,8
TT Aql	13,754707 (*)	27	2	0,62	3,55  $\pm$  0,15	0,375  $\pm$  0,023	1,92  $\pm$  0,11	20,4  $\pm$  1,1
						0,528  $\pm$  0,031	1,86  $\pm$  0,18	13,2  $\pm$  1,2
SZ Cyg	15,11034 (*)	43	2	0,51	-11,39  $\pm$  0,09	0,515  $\pm$  0,018	1,27  $\pm$  0,11	19,1  $\pm$  1,2
						0,424  $\pm$  0,022	1,79  $\pm$  0,12	16,3  $\pm$  1,2
SV Mon	15,2342  $\pm$  0,0001	40	2	0,56	27,32  $\pm$  0,11	0,481  $\pm$  0,013	1,63  $\pm$  0,06	23,8  $\pm$  1,0
						0,554  $\pm$  0,025	1,89  $\pm$  0,13	14,8  $\pm$  0,7
CD Cyg	17,07414 (*)	35	2	0,78	-11,45  $\pm$  0,16	0,445  $\pm$  0,023	1,62  $\pm$  0,12	23,4  $\pm$  1,5
						0,546  $\pm$  0,036	1,90  $\pm$  0,22	13,8  $\pm$  1,6
SV Vul	45,055  $\pm$  0,002	41	2	0,36	-2,01  $\pm$  0,07	0,386  $\pm$  0,017	1,68  $\pm$  0,10	25,3  $\pm$  2,2
						0,589  $\pm$  0,089	4,85  $\pm$  0,92	4,1  $\pm$  2,2

   

Table 3: Dimensions des 22 céphéides. $R_{{\rm max}}$, $R_{\rm o}$ et $\Delta R$ sont exprimés en rayons solaires. nbv est le nombre de mesures B et V utilisées pour le calcul des rayons. a est le coefficient de proportionnalité entre 10 log $T_{\rm e}$ + CB et B-V

	Période	nbv	$R_{{\rm max}}$	$R_{\rm o}$	$\Delta R$	a
BL Her	1,31	69	12,3	11,7 $\pm$  0,9	1,24 $\pm$  0,07	2,48 $\pm$  0,05
UY Mon	2,40	25	35,9	35,3 $\pm$  8,6	1,18 $\pm$  0,01	2,56 $\pm$  0,11
ST Tau	4,03	55	46,3	44,7 $\pm$  2,4	3,55 $\pm$  0,03	2,29 $\pm$  0,03
SY Cas	4,07	96	50,9	49,3 $\pm$  5,5	3,63 $\pm$  0,03	2,26 $\pm$  0,05
Y Lac	4,32	34	56,0	54,2 $\pm$  5,7	3,98 $\pm$  0,04	2,33 $\pm$  0,05
V402 Cyg	4,36	85	47,9	46,4 $\pm$  6,5	3,33 $\pm$  0,03	1,96 $\pm$  0,08
V1154 Cyg	4,93	93	53,9	52,5 $\pm$  4,8	3,22 $\pm$  0,03	2,01 $\pm$  0,06
AS Per	4,97	44	54,1	52,1 $\pm$  4,8	4,67 $\pm$  0,04	2,44 $\pm$  0,05
BG Lac	5,33	84	50,7	48,8 $\pm$  5,3	4,30 $\pm$  0,03	2,21 $\pm$  0,07
RR Lac	6,42	192	63,9	61,6 $\pm$  3,1	5,19 $\pm$  0,04	2,17 $\pm$  0,03
BB Her	7,51	26	65,5	63,0 $\pm$  4,7	5,62 $\pm$  0,21	2,11 $\pm$  0,05
RS Ori	7,57	50	81,0	78,1 $\pm$  4,9	6,60 $\pm$  0,17	2,12 $\pm$  0,03
W Gem	7,91	60	66,9	64,2 $\pm$  8,2	6,55 $\pm$  0,12	1,95 $\pm$  0,07
GQ Ori	8,62	49	77,2	73,8 $\pm$  3,5	7,43 $\pm$  0,41	2,01 $\pm$  0,03
VX Per	10,89	62	95,7	91,1 $\pm$  6,2	8,98 $\pm$  0,32	2,19 $\pm$  0,04
AA Gem	11,30	90	93,5	87,7 $\pm$  5,6	10,19 $\pm$  0,78	1,90 $\pm$  0,05
RX Aur	11,62	45	96,1	91,2 $\pm$  7,9	9,25 $\pm$  0,58	1,98 $\pm$  0,05
TT Aql	13,75	60	100,5	91,4 $\pm$  4,9	16,7 $\pm$  0,8	2,19 $\pm$  0,04
SZ Cyg	15,11	48	106,8	97,4 $\pm$  5,6	17,7 $\pm$  0,9	2,18 $\pm$  0,05
SV Mon	15,23	192	111,6	100,8 $\pm$  3,7	20,2 $\pm$  0,7	2,11 $\pm$  0,03
CD Cyg	17,07	121	125,7	113,8 $\pm$  4,1	22,7 $\pm$  1,3	2,13 $\pm$  0,03
SV Vul	45,06	113	238,4	216,5 $\pm$  6,8	50,5 $\pm$  3,6	2,11 $\pm$  0,03