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Up: Détermination des rayons de Céphéides


3 Représentation analytique de la pulsation

Nous avons montré précédemment (Imbert et al. 1985, 1989) que le mouvement radial de pulsation pouvait être décrit par une expression analytique de la forme :


\begin{displaymath}V_{\rm r}(t) = V_{\rm o} + \sum_ m~K_m~(e_m~{\rm cos}~\omega_m~+~{\rm cos}~(\nu_m(t)~+~\omega_m))\end{displaymath}

$ \nu_ m$ étant défini par :


\begin{displaymath}{\rm tg}~(\nu _m(t)/2) = [(1~+~e_m)/(1 - e_m)]^{1/2}~{\rm tg}~(E_m/2)\end{displaymath}

avec $E_m - e_m ~{\rm sin}~E_m = M_m$

et $M_m = 2\pi~(t - T_{o_m})/P_m$

t est l'époque d'observation et Pm la période du mouvement m.

La valeur de m est un pour les Céphéides sans "bump'', deux pour les Céphéides avec "bump'', et, exceptionnellement trois quand deux mouvements ne suffisent pas à représenter correctement les observations (BL Her). Cet ajustement permet de représenter objectivement les observations de vitesse radiale en évitant les oscillations parasites introduites par un ajustement par développement de Fourier. Il permet en outre de maîtriser le nombre d'extremums de la courbe et donne une très bonne représentation de la pulsation, même dans le cas de mesures peu nombreuses ou mal réparties en phase. Toutes les formes de courbes rencontrées dans ce travail sont parfaitement représentées par ce lissage (Figs. 2, 3 et 4). Cette représentation analytique de la vitesse radiale de l'étoile au cours de sa pulsation est formellement identique à celle décrivant la variation de vitesse radiale des composantes d'un système double spectroscopique. On peut ainsi assimiler la variation de vitesse radiale d'une Céphéide à une somme de mouvements képlériens fictifs (Imbert et al. 1985; Imbert 1987; Imbert et al. 1989). Dans le cas de Céphéides doubles spectroscopiques, ces mouvements fictifs s'ajoutent au mouvement képlérien réel dû à la duplicité (Imbert 1994; Imbert 1996).

Les paramètres de lissage à calculer, $V_{\rm o}$, em, $\omega_m$, Km et $T_{{\rm o}_m}$, sont au nombre de 5, 9 ou exceptionnellement 13, auxquels s'ajoutent éventuellement une, deux ou trois valeurs de Pm. $V_{\rm o}$ est la vitesse du centre de masse de l'étoile et Km l'amplitude de la composante m du mouvement. em et $\omega_m$ doivent être considérés comme des paramètres de forme. $T_{{\rm o}_m}$est l'époque de passage au périastre de l'orbite fictive, mais ne correspond pas, en général, à un instant remarquable dans la cycle de pulsation. Le calcul de ces éléments orbitaux fictifs ou réels se fait par la méthode classique par améliorations itératives des éléments approchés de départ. Tous les calculs relatifs aux recherches de périodes, détermination des éléments orbitaux approchés et amélioration de ceux-ci par la méthode de moindres carrés de Schlesinger (1908), ont été effectués avec le programme SB5MCEX écrit en VBA Excel et mis en \oeuvre sur Power Macintosh. Ce programme, très interactif, permet de rechercher les périodes (Imbert 1972), de calculer des éléments approchés par une variante numérique de la méthode graphique de Lehman-Filhès (1894), et de déterminer les éléments orbitaux définitifs par itérations successives. Dans ce programme, il est possible de prendre en compte jusqu'à cinq mouvements képlériens superposés. Le programme donne en outre la possibilité de fixer n'importe quel élément à une valeur prédéterminée, comme la période ou l'excentricité e. Les éléments orbitaux fictifs calculés par la méthode ci-dessus sont donnés dans le tableau 2. Les différences, O-C, entre la valeur observée et la valeur calculée avec l'ajustement figurent dans le tableau 1.


   
Table 2: Paramètres d'ajustement de la variation de vitesse radiale. La période est exprimée en jours, $V_{\rm o}$, K et $\sigma$ en km s -1, $\omega$ en radians. nvr et m sont respectivement le nombre de vitesses utilisées dans le calcul et le nombre de mouvements nécessaires à la représentation de la pulsation. $\sigma$ est le résidu quadratique moyen de l'ajustement. Pour chaque étoile les lignes sont relatives respectivement au premier, second et troisième mouvement. L'astérisque indique que la période utilisée est celle de la photométrie.

Période nvr m $\sigma$  $V_{\rm o}$    e $\omega$ K    

BL Her
1,3074372  $\pm$  0,000007 113 3 0,82 9,85  $\pm$  0,11 0,471  $\pm$  0,027 1,36  $\pm$  0,12 16,6  $\pm$  1,4
            0,739  $\pm$  0,017 2,07  $\pm$  0,16 13,5  $\pm$  1,5
            0,457  $\pm$  0,053 1,77  $\pm$  0,24 4,2  $\pm$  0,4

UY Mon
2,398255  $\pm$  0,000007 30 1 0,47 34,09  $\pm$  0,10 0,301  $\pm$  0,014 1,84  $\pm$  0,05 9,7  $\pm$  0,1

ST Tau
4,034299 (*) 32 1 0,73 1,11  $\pm$  0,15 0,412  $\pm$  0,011 1,67  $\pm$  0,03 18,0  $\pm$  0,2

SY Cas
4,071098 (*) 43 1 0,79 -46,93  $\pm$  0,13 0,408  $\pm$  0,008 1,67  $\pm$  0,03 18,2  $\pm$  0,2

Y Lac
4,323776 (*) 43 1 1,12 -22,25  $\pm$  0,19 0,388  $\pm$  0,012 1,63  $\pm$  0,04 18,6  $\pm$  0,3

V402 Cyg
4,364836 (*) 32 1 0,68 -13,42  $\pm$  0,14 0,351  $\pm$  0,011 1,53  $\pm$  0,04 15,2  $\pm$  0,2

V1154 Cyg
4,92546 (*) 32 1 0,57 -4,32  $\pm$  0,11 0,295  $\pm$  0,012 1,55  $\pm$  0,05 12,7  $\pm$  0,2

AS Per
4,972516 (*) 20 1 0,55 -30,39  $\pm$  0,16 0,473  $\pm$  0,008 1,55  $\pm$  0,03 19,9  $\pm$  0,2

BG Lac
5,331932 (*) 31 2 0,34 -18,02  $\pm$  0,07 0,415  $\pm$  0,043 0,86  $\pm$  0,41 17,1  $\pm$  4,9
            0,133  $\pm$  0,146 2,37  $\pm$  0,49 5,6  $\pm$  4,7

RR Lac
6,41629  $\pm$  0,00002 29 2 0,39 -38,73  $\pm$  0,10 0,435  $\pm$  0,013 1,30  $\pm$  0,06 17,3  $\pm$  0,5
            0,351  $\pm$  0,216 0,71  $\pm$  0,98 1,3  $\pm$  0,5

BB Her
7,50585  $\pm$  0,00008 25 2 0,53 88,75  $\pm$  0,14 0,371  $\pm$  0,018 1,26  $\pm$  0,08 17,3  $\pm$  0,5
            0,513  $\pm$  0,101 2,21  $\pm$  0,46 2,9  $\pm$  0,6

RS Ori
7,566881 (*) 38 2 0,67 42,89  $\pm$  0,14 0,436  $\pm$  0,012 1,34  $\pm$  0,05 20,6  $\pm$  0,4
            0,524  $\pm$  0,068 2,36  $\pm$  0,24 3,8  $\pm$  0,4

W Gem
7,91343  $\pm$  0,00004 48 2 0,68 1,61  $\pm$  0,11 0,453  $\pm$  0,010 1,22  $\pm$  0,03 21,0  $\pm$  0,3
            0,591  $\pm$  0,062 2,30  $\pm$  0,18 4,0  $\pm$  0,3

GQ Ori
8,61645  $\pm$  0,00007 29 2 0,50 45,12  $\pm$  0,13 0,398  $\pm$  0,015 1,40  $\pm$  0,08 20,1  $\pm$  0,7
            0,362  $\pm$  0,065 2,64  $\pm$  0,32 5,5  $\pm$  0,6

VX Per
10,8866  $\pm$  0,0002 58 2 0,64 -35,97  $\pm$  0,10 0,380  $\pm$  0,013 1,40  $\pm$  0,07 16,6  $\pm$  0,5
            0,412  $\pm$  0,038 2,69  $\pm$  0,16 6,8  $\pm$  0,4

AA Gem
11,30334 (*) 38 2 0,60 18,76  $\pm$  0,12 0,330  $\pm$  0,029 1,50  $\pm$  0,18 14,2  $\pm$  1,2
            0,384  $\pm$  0,037 1,85  $\pm$  0,20 12,2  $\pm$  1,2

RX Aur
11,623537 (*) 25 2 0,38 -21,95  $\pm$  0,11 0,268  $\pm$  0,022 1,27  $\pm$  0,13 15,6  $\pm$  0,9
            0,405  $\pm$  0,051 1,87  $\pm$  0,28 6,7  $\pm$  0,8

TT Aql
13,754707 (*) 27 2 0,62 3,55  $\pm$  0,15 0,375  $\pm$  0,023 1,92  $\pm$  0,11 20,4  $\pm$  1,1
            0,528  $\pm$  0,031 1,86  $\pm$  0,18 13,2  $\pm$  1,2

SZ Cyg
15,11034 (*) 43 2 0,51 -11,39  $\pm$  0,09 0,515  $\pm$  0,018 1,27  $\pm$  0,11 19,1  $\pm$  1,2
            0,424  $\pm$  0,022 1,79  $\pm$  0,12 16,3  $\pm$  1,2

SV Mon
15,2342  $\pm$  0,0001 40 2 0,56 27,32  $\pm$  0,11 0,481  $\pm$  0,013 1,63  $\pm$  0,06 23,8  $\pm$  1,0
            0,554  $\pm$  0,025 1,89  $\pm$  0,13 14,8  $\pm$  0,7

CD Cyg
17,07414 (*) 35 2 0,78 -11,45  $\pm$  0,16 0,445  $\pm$  0,023 1,62  $\pm$  0,12 23,4  $\pm$  1,5
            0,546  $\pm$  0,036 1,90  $\pm$  0,22 13,8  $\pm$  1,6

SV Vul
45,055  $\pm$  0,002 41 2 0,36 -2,01  $\pm$  0,07 0,386  $\pm$  0,017 1,68  $\pm$  0,10 25,3  $\pm$  2,2
            0,589  $\pm$  0,089 4,85  $\pm$  0,92 4,1  $\pm$  2,2

               


   
Table 3: Dimensions des 22 céphéides. $R_{{\rm max}}$, $R_{\rm o}$ et $\Delta R$ sont exprimés en rayons solaires. nbv est le nombre de mesures B et V utilisées pour le calcul des rayons. a est le coefficient de proportionnalité entre 10 log $T_{\rm e}$ + CB et B-V

Période nbv $R_{{\rm max}}$ $R_{\rm o}$     $\Delta R$      a     

BL Her
1,31 69 12,3 11,7 $\pm$  0,9 1,24 $\pm$  0,07 2,48 $\pm$  0,05

UY Mon
2,40 25 35,9 35,3 $\pm$  8,6 1,18 $\pm$  0,01 2,56 $\pm$  0,11

ST Tau
4,03 55 46,3 44,7 $\pm$  2,4 3,55 $\pm$  0,03 2,29 $\pm$  0,03

SY Cas
4,07 96 50,9 49,3 $\pm$  5,5 3,63 $\pm$  0,03 2,26 $\pm$  0,05

Y Lac
4,32 34 56,0 54,2 $\pm$  5,7 3,98 $\pm$  0,04 2,33 $\pm$  0,05

V402 Cyg
4,36 85 47,9 46,4 $\pm$  6,5 3,33 $\pm$  0,03 1,96 $\pm$  0,08

V1154 Cyg
4,93 93 53,9 52,5 $\pm$  4,8 3,22 $\pm$  0,03 2,01 $\pm$  0,06

AS Per
4,97 44 54,1 52,1 $\pm$  4,8 4,67 $\pm$  0,04 2,44 $\pm$  0,05

BG Lac
5,33 84 50,7 48,8 $\pm$  5,3 4,30 $\pm$  0,03 2,21 $\pm$  0,07

RR Lac
6,42 192 63,9 61,6 $\pm$  3,1 5,19 $\pm$  0,04 2,17 $\pm$  0,03

BB Her
7,51 26 65,5 63,0 $\pm$  4,7 5,62 $\pm$  0,21 2,11 $\pm$  0,05

RS Ori
7,57 50 81,0 78,1 $\pm$  4,9 6,60 $\pm$  0,17 2,12 $\pm$  0,03

W Gem
7,91 60 66,9 64,2 $\pm$  8,2 6,55 $\pm$  0,12 1,95 $\pm$  0,07

GQ Ori
8,62 49 77,2 73,8 $\pm$  3,5 7,43 $\pm$  0,41 2,01 $\pm$  0,03

VX Per
10,89 62 95,7 91,1 $\pm$  6,2 8,98 $\pm$  0,32 2,19 $\pm$  0,04

AA Gem
11,30 90 93,5 87,7 $\pm$  5,6 10,19 $\pm$  0,78 1,90 $\pm$  0,05

RX Aur
11,62 45 96,1 91,2 $\pm$  7,9 9,25 $\pm$  0,58 1,98 $\pm$  0,05

TT Aql
13,75 60 100,5 91,4 $\pm$  4,9 16,7 $\pm$  0,8  2,19 $\pm$  0,04

SZ Cyg
15,11 48 106,8 97,4 $\pm$  5,6 17,7 $\pm$  0,9  2,18 $\pm$  0,05

SV Mon
15,23 192 111,6 100,8 $\pm$  3,7 20,2 $\pm$  0,7  2,11 $\pm$  0,03

CD Cyg
17,07 121 125,7 113,8 $\pm$  4,1 22,7 $\pm$  1,3  2,13 $\pm$  0,03

SV Vul
45,06 113 238,4 216,5 $\pm$  6,8 50,5 $\pm$  3,6  2,11 $\pm$  0,03

           


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