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3. Le traitement des données

Le problème à résoudre était alors celui de reconstituer les trajectoires des images directes et réfléchies, relativement à la CCD, d'un point judicieusement choisi sur le bord solaire. Si l'on suppose que les lignes sont parfaitement verticales, un point intéressant du bord solaire est, sur chaque image, celui dont la tangente est horizontale ou plus généralement celui dont la tangente est parallèle aux colonnes de la CCD. Ce point répond à des critères géométriques simples ce qui, a priori, rendra le traitement des images plus facile. On notera que, dans l'expérience telle qu'elle est menée au CERGA, les lignes de la CCD sont verticales. Ce choix est dû simplement à une commodité plus grande dans le traitement des données où l'on utilise fréquemment des transferts de blocs d'octets contenant une ligne entière. Ceci est impossible pour les colonnes dont les éléments sont séparés, en mémoire, de la longueur d'une ligne. On retiendra donc que ce sont les colonnes qui sont horizontales.

La CCD définit, avec une très bonne précision, un repère cartésien à deux dimensions. Du traitement des images, il sera possible de tirer deux informations indépendantes :
- les variations de la distance zénithale z en fonction du temps,
- les variations de l'azimut a en fonction du temps mais avec une moins bonne précision.

Les procédures de traitement choisies en découlent :
- Définition et détermination du "bord solaire" par points.
- Recherche du point dont la tangente est parallèle à la direction horizontale. Il sera désigné par "sommet'' de l'image du bord solaire dans la suite.
- Conserver, pour chacune des images de la série, la position du sommet détecté et l'heure correspondante.
- Déterminer les trajectoires des sommets de chaque image.

Ces trajectoires connues, l'instant du passage est défini comme celui où les deux images, directes et réfléchies, sont tangentes à une même colonne de la matrice CCD ou, ce qui revient au même, lorsque les ordonnées des sommets de chaque image sont égales. À condition que la CCD soit parfaitement orientée, cette procédure a pour avantage d'éliminer toute erreur provenant d'un mauvais alignement vertical des deux images du Soleil.

La méthode d'observation et la définition du temps de passage sont différentes de celles utilisées lors des observations visuelles, où l'instant mesuré est celui où les deux images du Soleil sont tangentes. Dans ces conditions, si les images solaires ne sont pas parfaitement alignées verticalement, il en résulte une erreur systématique dans la mesure du diamètre, dans le sens d'une diminution de sa valeur. C'est un avantage de la méthode employée dans ces mesures CCD que de supprimer cet effet.

Par contre, une inclinaison trop prononcée des colonnes de la CCD sur l'horizon entraîne aussi une erreur. Toutefois disposant avec la CCD d'un récepteur à deux dimensions, l'étude des trajectoires permet de déterminer aisément cette inclinaison et donc d'appliquer les corrections requises.

La chaîne des traitements commence donc par l'étude géométrique des images, afin de définir un bord solaire, puis de déterminer la position de chaque point du bord pour chaque ligne (verticale rappelons-le) de la caméra.

En règle générale, le bord solaire étant défini par une certaine courbe, on désignera par sommet de ce bord, le point de cette courbe dont la tangente est parallèle à l'axe des x du système de référence instrumental employé. Le temps de passage sera alors, dans ce système, l'instant où les sommets des bords des images directes et réfléchies ont la même ordonnée.

Cette définition pratique est soumise au choix du système de référence instrumental et à la manière dont le bord solaire est défini. Il va de soi que l'instant de passage adopté en fin d'analyse sera celui rapporté à une certaine méthode de définition du bord et surtout à un système de référence instrumental dont l'axe des x est horizontal. Les systèmes instrumentaux nécessaires sont l'un lié aux lignes (ou aux colonnes) de la CCD, l'autre lié à l'horizon.

3.1. Le bord solaire

L'examen des intensités lumineuses recueillies le long d'une ligne de la caméra montre très clairement les effets de la diffraction, associés à un effet centre-bord prononcé : l'intensité décroit très nettement du centre vers le bord.

Pratiquement, le bord a été défini comme le lieu des points d'inflexion rencontrés le long de chaque ligne de la caméra. Ce choix résulte de considérations d'optique et de commodité dans le traitement mathématique et numérique de ces images.

Du point de vue optique, on sait que la figure de diffraction d'une plage lumineuse uniforme, limitée par un passage brusque de la plage éclairée à la plage sombre, présente un point d'inflexion en coïncidence avec le bord réel et situé à mi-hauteur entre les plages lumineuses et sombres. De même, mathématiquement parlant, on sait que les points d'inflexion sur une courbe sont définis comme les points où la dérivée première est extrémale, ou encore ceux où la dérivée seconde s'annule.

Dans le traitement adopté au cours de cette première campagne, l'extremum de la dérivée a été pris comme référence et, le long de chaque ligne, une dérivée numérique a été calculée. Au nombre de 256, les lignes de la caméra contenaient 512 pixels. A chaque pixel de coordonnées (colonne, ligne) était attaché un nombre, compris entre 0 et 255, représentant une mesure de l'intensité lumineuse recueillie par le pixel durant la pose. Toutes les images obtenues au cours de cette campagne ont été archivées et des études concernant les méthodes de définition du bord solaire et de déterminations du demi-diamètre sont en cours. Les résultats de ces travaux devraient être présentés dans un avenir proche.

Le temps de pose de chaque image vidéo, réduite à sa trame impaire, étant limité à 20 ms, il a été possible de se passer de tout traitement trop sophistiqué des images : la ligne en cours de traitement était lissée sur 3 points puis le point d'abscisse x (en pixels) se voyait attribuer une dérivée calculée en faisant la différence des intensités contenues dans les pixels (x+2) et (x-2). Ce résultat est ensuite élevé au carré tant pour améliorer le rapport signal/bruit que pour éviter des tests de détermination du genre de l'extremum (dérivée maximale ou minimale). La position précise de l'extremum apparent est ensuite évaluée par un calcul de barycentre, au voisinage du sommet de la courbe des dérivées.

Le long de chaque ligne, le point corespondant à l'extremum de la dérivée est obtenu et l'ensemble de ces points représente un bord solaire observé. À ce bord réduit, un temps de passage est associé. Ce temps, lu sur une carte chronomètre insérée dans le micro-ordinateur d'acquisition, est systématiquement diminué de 30 ms. Cette correction provient des conditions de travail de la caméra CCD en mode vidéo :

- le temps de pose de chaque trame est de 20 ms,

- l'acquisition ne se fait qu'après la trame paire,

- l'acquisition concerne la trame impaire première a être observée après la lecture (destructive) de la CCD, et enfin

- la lecture de l'heure est faite juste après la fin de l'acquisition.

Le temps obtenu correspond ainsi à l'instant milieu de l'intervalle de temps de la pose.

Sur cet ensemble de points de la courbe qui définissait le bord de l'image du Soleil, il faut ensuite déterminer celui en lequel la tangente est parallèle aux colonnes de la CCD.

3.2. Le sommet du bord solaire

La figure géométrique simple qui représente le mieux le bord solaire est le cercle. Toutefois, une fois enregistrée dans l'ordinateur, l'image du bord diffère de cette figure pour de multiples raisons. L'optique de l'instrument, aussi bien que l'agitation, les durées de la pose et de la lecture de la CCD contribuent à déformer ces images du Soleil.

Pour des raisons de symétrie, la figure apparente semblait être proche d'une conique. Dans le champ de la CCD (environ 6tex2html_wrap903 4tex2html_wrap_inline8514tex2html_wrap903 8), la partie visible du bord solaire n'équivaut qu'à 15% du diamètre et présente une courbure très peu prononcée. On a donc finalement admis que le bord du Soleil pouvait, avec une précision suffisante, être approché par une parabole.

Pour chacune des images, le calcul par moindres carrés permet de déterminer les coefficients de l'équation du second degré représentant le bord. Si tex2html_wrap_inline881 sont les coordonnées des points d'un bord, dans un repère lié à la CCD, les équations de conditions suivantes :
displaymath871
écrites pour toutes les valeurs de i comprises entre 0 et 255 , permettent de déterminer les coefficients a, b, et c , avec une bonne précision. Ces coefficients connus, le sommet de la parabole s'en déduit aisément. Il a pour coordonnées :
displaymath872
Les erreurs moyennes sur ces coordonnées sont un peu inférieures au dixième de pixel en y , soit 006. Dans le montage adopté, les variations de y sont le reflet exact des variations de distance zénithale du Soleil, quantité mesurée. La seconde coordonnée, en x , n'est employée que pour évaluer les termes correctifs dus à l'inclinaison des lignes de la CCD, et elle est obtenue avec des erreurs 15 à 20 fois plus élevées.

C'est cet ensemble de sommets tex2html_wrap_inline899 associés à une heure de mesure tex2html_wrap_inline901, conservés pour chaque image qui permettra de reconstituer la trajectoire des sommets, moyennant quelques corrections qui seront étudiées plus loin.

3.3. Les trajectoires et l'instant du passage

L'ensemble des mesures, tex2html_wrap_inline915, tex2html_wrap_inline917 et tex2html_wrap_inline901 permet de calculer les trajectoires de chacune des images, aussi bien en x(t) qu'en y(t) , avec des précisions très différentes, bien entendu. On se préoccupera ici essentiellement des trajectoires y(t) qui représentent les variations de position des images en distance zénithale. C'est, pour la méthode d'observation, la donnée dont l'analyse permet de définir l'instant de passage. L'équation de la trajectoire, dont les coefficients sont déterminés par application de la méthode des moindres carrés, peut toujours s'écrire sous la forme d'un développement en série, de la forme :
displaymath907
avec n choisi à l'avance et où les ak sont les inconnues. Il s'avère en fait que ces trajectoires ont des courbures très faibles et, en tous cas, non significatives devant la dispersion des points. Des tests où la trajectoire était supposée parabolique ont montré que le coefficient du terme d'ordre 2 était toujours, d'abord plus grand que le terme calculé théoriquement et, ensuite, déterminé avec une erreur supérieure à la valeur du coefficient lui-même. D'un autre côté, le calcul théorique des effets de la courbure des trajectoire tex2html_wrap_inline931 montre qu'ils sont négligeables. Le problème se simplifiait et les trajectoires des images solaires pendant la durée du passage pouvaient être et ont été assimilées à des droites.

Les calculs permettent donc d'obtenir les trajectoires des sommets des ces images, sous la forme :
displaymath908
par exemple pour l'image directe, et une équation de la même forme pour l'image réfléchie. Si la caméra CCD est parfaitement positionnée, dans cette seconde équation le coefficient de t doit être égal à -a1 , puisque l'image réfléchie est la symétrique de l'image directe par rapport à un plan horizontal défini par le bain de mercure. Dans ce cas l'équation de la trajectoire du sommet réfléchi s'écrit :
displaymath909
On notera qu'à l'instant t0 , le sommet de l'image directe se trouve à l'ordonnée tex2html_wrap_inline939, tandis que l'image réfléchie a son sommet en tex2html_wrap_inline941. Dans ces notations, l'instant où les deux sommets ont la même ordonnée est tex2html_wrap_inline943, donné par :
displaymath910
En fait, les pentes des deux droites ne sont pas égales en grandeur car il est très exceptionnel que les colonnes de la CCD soient parfaitement horizontales. Toutefois, un calcul relativement simple permet de déterminer cette inclinaison et d'éliminer les effets qu'elle induit. Il faut pour cela évaluer aussi les trajectoires en azimut, ou à sinz près, en x .

3.4. La correction d'inclinaison de la CCD

L'expression théorique qui donne la variation de distance zénithale d'un astre en fonction du temps s'écrit, en se limitant aux termes d'ordre 1 :
displaymath957
a est l'azimut de l'astre compté depuis le Sud vers l'Ouest, tex2html_wrap_inline961 est la latitude du lieu d'observation, tex2html_wrap_inline963 la déclinaison de l'objet et S l'angle à l'astre.

Les paramètres sont comptés en secondes de degré pour z et en secondes de temps pour t . Réduite au premier terme, cette relation implique que t-t0 reste petit. C'est le cas de l'astrolabe puisque la durée d'un passage n'excédant pas 25 s, la quantité t-t0 ne dépasse pas 13 s ou, environ, tex2html_wrap_inline977.

L'équation correspondante, en azimut, s'écrit :
displaymath949
Ramenées à un système de coordonnées x,y sur la CCD, supposée parfaitement réglée, les relations précédentes deviennent :
displaymath950

displaymath951
ex et ey sont des constantes qui représentent les dimensions du pixel en secondes de degré, respectivement sur l'almucantarat et en distance zénithale. Le diviseur tex2html_wrap_inline985 disparaît, le rayon de courbure du cercle de hauteur étant égal à tex2html_wrap_inline985.

Les mêmes relations s'écrivent pour l'image réfléchie, à la différence près que S doit être changé en -S . On introduit le non-alignement vertical des images en écrivant que le sommet de l'image directe se trouve au point (tex2html_wrap_inline993) tandis que le sommet de l'image réfléchie sera au point (tex2html_wrap_inline995). Ce paramétrage implique que t0 est l'instant du passage cherché puisque lorsque t=t0 , les ordonnées des deux sommets sont égales.

Si, au contraire, les colonnes de la CCD sont inclinées d'un angle tex2html_wrap_inline1001 sur l'horizon, une rotation d'angle tex2html_wrap_inline1001 appliquée aux coordonnées précédentes, relatives à un axe horizontal, donne les coordonnées relatives à la CCD réelle ( X,Y ).

La pente des trajectoire en Y , tex2html_wrap_inline1009, suivant que l'on considère l'image directe ou réfléchie est égale à tex2html_wrap_inline1011 ou à tex2html_wrap_inline1013. Connaissant la valeur de l'angle à l'astre avec une précision surabondante, on détermine tex2html_wrap_inline1001 et l'étalonnage ey . Ces équations sont aussi celles qui permettent de calculer un instant de passage mesuré mais approché tex2html_wrap_inline943 et de donner son expression en fonction de t0 et des termes d'erreur. On en tire aussi t0 instant vrai du passage :
eqnarray244
La valeur observée tex2html_wrap_inline943 de t doit être corrigée des effets dus à l'écartement des images tex2html_wrap_inline1029 et d'un terme dépendant du demi-diamètre solaire. Cette correction provient du fait que le point observé est le sommet relativement à la CCD et que l'on doit en fait observer le sommet relativement à l'horizontale.

Dès que l'angle tex2html_wrap_inline1001 est connu, plutôt que d'appliquer la formule précédente, une rotation d'angle tex2html_wrap_inline1033 permet de replacer les points des deux trajectoires dans un système horizontal. L'instant du passage est encore défini comme celui où les ordonnées des sommets des images directes et réfléchies sont égales, mais cette fois dans un repère horizontal. D'où l'instant t0 que l'on tire du temps observé tex2html_wrap_inline943 :
displaymath952
On notera le changement de signe de l'erreur, par rapport au résultat brut, qui s'explique par le changement de système de référence. Cette rotation supprime aussi tout effet produit par le non-alignement vertical des images. De même, on sait que tex2html_wrap_inline1039 change de signe avec le passage et est négatif en passage Est, comme le paramètre p . La formule resterait donc exacte en supprimant p et en remplaçant tex2html_wrap_inline1039 par sa valeur absolue.

Après la détermination de l'angle tex2html_wrap_inline1001 la correction ci-dessus a été systématiquement appliquée au temps de passage brut donné par tex2html_wrap_inline943 afin d'obtenir une évaluation correcte de t0 , temps de passage vrai.

Nous nous limitons ici aux mesures du diamètre solaire, paramètre plus immédiatement accessible que la recherche des corrections à la position du Soleil qui nécessitent de plus longues campagnes. Comme pour les observations visuelles, les calculs des positions et du diamètre solaires ont été réalisés dans le système J2000 avec l'aide de la théorie des planètes du Bureau des Longitudes (Bretagnon & Francou 1988) tandis que les coordonnées de la station d'observation ont été corrigées des inégalités de la rotation terrestre et des mouvements du Pôle, publiés par l'IERS/CB (International Earth Rotation Service/Central Bureau).

3.5. Le demi-diamètre du Soleil

À ce stade du traitement les données d'observations correspondent à un instant de passage pour chaque bord du Soleil, aussi bien pour des observations faites en passage Est qu'Ouest. La comparaison des temps de passage observés et prédits permet d'obtenir une détermination du diamètre du Soleil. Ces calculs, classiques, conduisent, pour chaque bord observé, à une équation de condition de la forme :
eqnarray259
où, comme précédemment, p représente le passage et vaut -1 à l'Est et +1 à l'Ouest tandis que b représente le bord observé et vaut -1 pour le premier bord et +1 pour le second.

Pour une distance zénithale donnée, chaque passage complet conduit à un système de quatre relations telles que (1). Ce système peut être traité de plusieurs façons, suivant les besoins, mais avec quelques précautions. Lors d'un passage par une distance zénithale fixe, les coefficients des inconnues restent pratiquement constants en grandeur, tant à l'Est qu'à l'Ouest. Par conséquent, les coefficients de tex2html_wrap_inline1067 et de tex2html_wrap_inline1069 sont proportionnels et ces deux inconnues ne peuvent pas être séparées et on posera de façon classique tex2html_wrap_inline1071 (Laclare et al. 1980; Chollet 1981). Le système complet des équations est à présent :
displaymath1073
Le système primitif de quatre équations à quatre inconnues se réduit à un système à trois inconnues qui peut être traité statistiquement par application d'une méthode de moindres carrés. On peut aisément vérifier que les vecteurs colonnes formés par les coefficients des inconnues sont quasiment perpendiculaires entre eux, ce qui conduira à une matrice des équations normales pratiquement diagonale. Les équations ont ainsi la meilleure conformation possible et il sera possible d'évaluer des erreurs de façon valable. Les résultats traitant des observations visuelles ont été obtenus de cette manière. Dans ce mode de réduction, les quatre équations sont utilisées pour fournir un seul diamètre. Mais on constate aussi que chaque groupe de deux équations conduit à une détermination du diamètre. Les soustractions terme à terme : tex2html_wrap_inline1075 tex2html_wrap_inline1077, ou encore tex2html_wrap_inline1079 fournissent directement le diamètre tex2html_wrap_inline1081. Mais il n'est plus alors possible de donner une idée de la précision des mesures autrement que par la comparaison des résultats successifs. Notre étude étant limitée à celle du diamètre, c'est cette seconde méthode qui a été employée car elle conduit à un nombre deux fois plus élevé de résultats et permet d'étudier l'existence d'effets Est-Ouest éventuels.


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